Все математические функции arduino

Общий порядок округления и терминология

• Округление числа, записанного в позиционной системе счисления с M знаками дробной части, может производиться «до K-го знака после запятой», где K ≤ M. При таком округлении в записи числа отбрасываются справа (M-K) значащих цифр, а K-я цифра после запятой может измениться (см. ). Применяется также терминология с указанием единицы наименьшей десятичной доли, сохраняющейся у округлённого числа, то есть «округление до десятых», «…до сотых», «…до тысячных» и т. д. (соответствует округлению до одного, двух, трёх и так далее знаков после запятой). Частный случай, когда K=0, называется «округлением до целого».
• Когда при округлении отбрасываются значащие цифры целой части числа, говорят об «округлении до десятков» (сотен, тысяч и так далее), отбрасывая, соответственно, один, два, три и более знака. При таком округлении отбрасываемые цифры целой части числа заменяются на нули.
• Для чисел, представленных в нормализованном виде, говорят об «округлении до K (значащих) цифр». При этом мантисса числа сохраняет K значащих цифр, остальные цифры справа отбрасываются.

Неточные вычисления

Внутри JavaScript число представлено в виде 64-битного формата IEEE-754. Для хранения числа используется 64 бита: 52 из них используется для хранения цифр, 11 из них для хранения положения десятичной точки (если число целое, то хранится 0), и один бит отведён на хранение знака.

Если число слишком большое, оно переполнит 64-битное хранилище, JavaScript вернёт бесконечность:

Наиболее часто встречающаяся ошибка при работе с числами в JavaScript – это потеря точности.

Посмотрите на это (неверное!) сравнение:

Да-да, сумма и не равна .

Странно! Что тогда, если не ?

Но почему это происходит?

Число хранится в памяти в бинарной форме, как последовательность бит – единиц и нулей. Но дроби, такие как , , которые выглядят довольно просто в десятичной системе счисления, на самом деле являются бесконечной дробью в двоичной форме.

Другими словами, что такое ? Это единица делённая на десять — , одна десятая. В десятичной системе счисления такие числа легко представимы, по сравнению с одной третьей: , которая становится бесконечной дробью .

Деление на гарантированно хорошо работает в десятичной системе, но деление на – нет. По той же причине и в двоичной системе счисления, деление на обязательно сработает, а становится бесконечной дробью.

В JavaScript нет возможности для хранения точных значений 0.1 или 0.2, используя двоичную систему, точно также, как нет возможности хранить одну третью в десятичной системе счисления.

Числовой формат IEEE-754 решает эту проблему путём округления до ближайшего возможного числа. Правила округления обычно не позволяют нам увидеть эту «крошечную потерю точности», но она существует.

Пример:

И когда мы суммируем 2 числа, их «неточности» тоже суммируются.

Вот почему – это не совсем .

Не только в JavaScript

Справедливости ради заметим, что ошибка в точности вычислений для чисел с плавающей точкой сохраняется в любом другом языке, где используется формат IEEE 754, включая PHP, Java, C, Perl, Ruby.

Можно ли обойти проблему? Конечно, наиболее надёжный способ — это округлить результат используя метод toFixed(n):

Также можно временно умножить число на 100 (или на большее), чтобы привести его к целому, выполнить математические действия, а после разделить обратно. Суммируя целые числа, мы уменьшаем погрешность, но она все равно появляется при финальном делении:

Таким образом, метод умножения/деления уменьшает погрешность, но полностью её не решает.

Забавный пример

Попробуйте выполнить его:

Причина та же – потеря точности. Из 64 бит, отведённых на число, сами цифры числа занимают до 52 бит, остальные 11 бит хранят позицию десятичной точки и один бит – знак. Так что если 52 бит не хватает на цифры, то при записи пропадут младшие разряды.

Интерпретатор не выдаст ошибку, но в результате получится «не совсем то число», что мы и видим в примере выше. Как говорится: «как смог, так записал».

Два нуля

Другим забавным следствием внутреннего представления чисел является наличие двух нулей: и .

Все потому, что знак представлен отдельным битом, так что, любое число может быть положительным и отрицательным, включая нуль.

В большинстве случаев это поведение незаметно, так как операторы в JavaScript воспринимают их одинаковыми.

Способы записи числа

Представьте, что нам надо записать число 1 миллиард. Самый очевидный путь:

Но в реальной жизни мы обычно опускаем запись множества нулей, так как можно легко ошибиться. Укороченная запись может выглядеть как или для 7 миллиардов 300 миллионов. Такой принцип работает для всех больших чисел.

В JavaScript можно использовать букву , чтобы укоротить запись числа. Она добавляется к числу и заменяет указанное количество нулей:

Другими словами, производит операцию умножения числа на 1 с указанным количеством нулей.

Сейчас давайте запишем что-нибудь очень маленькое. К примеру, 1 микросекунду (одна миллионная секунды):

Записать микросекунду в укороченном виде нам поможет .

Если мы подсчитаем количество нулей , их будет 6. Естественно, верная запись .

Другими словами, отрицательное число после подразумевает деление на 1 с указанным количеством нулей:

Шестнадцатеричные числа широко используются в JavaScript для представления цветов, кодировки символов и многого другого. Естественно, есть короткий стиль записи: , после которого указывается число.

Например:

Не так часто используются двоичные и восьмеричные числа, но они также поддерживаются для двоичных и для восьмеричных:

Есть только 3 системы счисления с такой поддержкой. Для других систем счисления мы рекомендуем использовать функцию (рассмотрим позже в этой главе).

Ошибки плавающей запятой

Дробные величины компьютер обычно трактует как числа с плавающей точкой. Аксессовские поля типов Двойной точности (Double) или Одинарной точности (Single) относятся к такому типу. Тип «Двойной точности» дает около 15 знаков точности, сингл — 8 знаков (подобно ручному калькулятору).

Но эти числа являются приблизительными. Точно так же, как 1/3 требует бесконечного количества знаков в десятичной системе, большинство чисел с плавающей запятой не могут быть представлены точно в двоичной системе. Википедия объясняет , с которой вы сталкиваетесь, оперируя числами с плавающей запятой.

Резюме заключается в том, что крайние цифры могут не округлиться ожидаемым вами образом,благодаря тому факту, что действительные значения и отображаемые не совпадают. Это становится особенно заметно при проверке банковского округления.

Один из способов избежать подобных проблем — использовать числа с фиксированной запятой или мастшабированные числа.Тип данных «Денежный» в Аксессе является типом с фиксированной запятой: он всегда хранит 4 десятичных знака.

Например, откройте окно Immediate Window (Ctrl+G) и введите:    ? Round(CCur(.545),2), Round(CDbl(.545),2) Денежный тип (первый) возвращает 0,54, тогда как Двойной точности — 0,55. Денежный округляет корректно (к четной цифре 4); тип с плавающей запятой (Двойной точности) некорректно. Подобным образом, если вы попробуете 8,995, Денежный корректно округлит вверх (к четной цифре 0), в то время как тип Двойной точности округлит вниз (неверно.)

Денежный тип справляется только с 4 десятичными знаками. Используйте масштабируемый тип Действительный (Decimal), если вам нужно больше знаков после запятой.

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой.

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

675 ≈ 680

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, поскольку мы округляем число до разряда сотен:

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

675 ≈ 700

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.

Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

9876 ≈ 9880

Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 8, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 9900

Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 9, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 10000

Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, поскольку сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

2971 ≈ 3000

Как проверить, активирована ли Windows 10?

Округление в большую сторону при условии в Excel

Пример 2. Балл за предмет в учебном заведении рассчитывается как среднее арифметическое баллов за 7 контрольных работ. При этом в пользу ученика округление в большую сторону выполняется в том случае, если дробная часть полученного числа >= 0,8. Определить оценку для ученика (используется 10-бальная шкала оценки знаний).

Исходные данные:

Формула для расчета:

То есть, если дробная часть числа, которое является средним арифметическим значением баллов за 7 контрольных, меньше, чем 0,8, итоговый балл будет рассчитан как ближайшее меньшее целое среднего балла, иначе – как ближайшее большее (в пользу ученика).

Результат вычислений:

Ученик не получил «прибавку» к оценке, поскольку средний балл за контрольные составил 7,71 (0,71<0,8).

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

• Математическое округление — округление всегда в бо́льшую по модулю сторону (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу).
• Банковское округление (англ. banker’s rounding) — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному, то есть 2,5 → 2; 3,5 → 4.
• Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике). Также часто используется округление с неравными вероятностями (вероятность округления вверх равна дробной части), этот способ делает накопление ошибок случайной величиной с нулевым математическим ожиданием.
• Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.

• Округление в случайную сторону требует для каждой округляемой строки генерировать случайное число. При использовании псевдослучайных чисел, создаваемых линейным реккурентным методом, для генерации каждого числа требуется операция умножения, сложения и деления по модулю, что для больших объёмов данных может существенно замедлить расчёты.
• Чередующееся округление требует хранить флаг, показывающий, в какую сторону последний раз округлялось специальное значение, и при каждой операции переключать значение этого флага.

Выбор способа округления

Существует несколько способов округления в зависимости от способа применения результата: округление к меньшему/ большему, округление к меньшему/ большему по модулю, округление к ближайшему целому, округление к ближайшему чётному и т. д… Округление к ближайшему целому, в свою очередь, можно делать по-разному в зависимости от того, какой результат должен получиться, если дробная часть равна 0,5. Я буду рассматривать округление к ближайшему целому, причём 0,5 будет округляться в большую (по модулю) сторону.

Требования к корректной реализации Round() заключаются в следующем:

• правильно округляет до ближайшего целого все конечные числа;
• поддерживает специальные значения (NaN, Inf, -0), возвращая их без изменений.

Я буду использовать следующие тестовые примеры для проверки корректности, в каждой паре содержатся исходное значение и предполагаемый результат выполнения функции Round():

В этом списке есть обычные числа, специальные значения и некоторые граничные случаи, с которыми простым алгоритмам сложно справиться

Обратите внимание, что, поскольку мы используем float, мы не можем использовать число 0,49999999999999999 в качестве ближайшего к 0,5, так как из-за ограниченной точности float это число в точности равно 0,5. Вместо этого я использую 0,49999999999999994

Реализации, предложенные в закрытом тикете, явно не были проверены на подобных данных, часто не работали даже те из них, которые были предложены известными людьми. Это лишний раз доказывает, насколько сложно написать Round().

int(f + 0.5)

Первая реализация, предложенная rsc, выглядела следующим образом:

Она некорректно работает с особыми значениями, отрицательными числами, числами больше math.MaxInt64 и числами, близкими к 0,5:

Floor() or Ceil()

Второй предложенный вариант учитывал отрицательные числа:

однако продолжал некорректно работать в некоторых случаях:

Первые два теста не проходят, потому что результат разности n — 0,5 равен в точности -1,0, тогда как мы ожидаем получить что-то точно большее, чем -1,0. Если посмотреть на , можно понять, как решить эту проблему.

Самое интересное, что эта ошибка не является такой уж редкой. До версии 6 точно такая же присутствовала в Java. Хорошо, что с тех пор реализация улучшилась.

int и Copysign

В третьем предложении от minux была предпринята другая попытка решить проблему отрицательных чисел:

И этот вариант всё равно ломает тесты:

Как видно, часть тестов стала проходить, однако другие начали падать. Была предпринята попытка улучшить этот алгоритм:

Однако и она провалилась:

Этот вариант выглядит лучше остальных, но и он некорректно обрабатывает особые значения и большие числа. Первую проблему можно решить с помощью дополнительных условий, но со второй справиться не так просто.

Мы рассмотрели уже четыре варианта, и в каждом из них нашлись изъяны. Настало время посмотреть, как Round() реализуют авторы различных пакетов.

Kubernetes

Kubernetes 1.7 содержит реализацию:

Она ломает следующие тесты:

Судя по тому, что функция возвращает int32, она не предназначена для работы с большими числами. Однако она некорректно работает и с числами, которые близки к 0,5.

Округление

Одна из часто используемых операций при работе с числами – это округление.

В JavaScript есть несколько встроенных функций для работы с округлением:

Округление в меньшую сторону: становится , а — .

Округление в большую сторону: становится , а — .

Округление до ближайшего целого: становится , — , а — .

(не поддерживается в Internet Explorer)

Производит удаление дробной части без округления: становится , а — .

Ниже представлена таблица с различиями между функциями округления:

Эти функции охватывают все возможные способы обработки десятичной части. Что если нам надо округлить число до количества цифр в дробной части?

Например, у нас есть и мы хотим округлить число до 2-х знаков после запятой, оставить только .

Есть два пути решения:

Умножить и разделить.
Например, чтобы округлить число до второго знака после запятой, мы можем умножить число на , вызвать функцию округления и разделить обратно.

Метод toFixed(n) округляет число до знаков после запятой и возвращает строковое представление результата.

Округляет значение до ближайшего числа, как в большую, так и в меньшую сторону, аналогично методу :

Обратите внимание, что результатом является строка. Если десятичная часть короче, чем необходима, будут добавлены нули в конец строки:

Мы можем преобразовать полученное значение в число, используя унарный оператор или , пример с унарным оператором: .

Встроенные функции

Для операции округления в Python есть встроенные функции – и

round

– округляет число (number) до ndigits знаков после запятой. Это стандартная функция, которая для выполнения не требует подключения модуля math.

По умолчанию операция проводится до нуля знаков – до ближайшего целого числа. Например:

Чтобы получить целый показатель, результат преобразовывают в .

Синтаксически функция вызывается двумя способами.

1. – это округление числа до целого, которое расположено ближе всего. Если дробная часть равна 0,5, то округляют до ближайшего четного значения.
2. – данные округляют до знаков после точки. Если округление проходит до сотых, то равен «2», если до тысячных – «3» и т.д.

int

– встроенная функция, не требующая подключения дополнительных модулей. Её функция – преобразование действительных значений к целому путем округления в сторону нуля. Например

Для положительных чисел функция аналогична функции , а для отрицательных – аналогично . Например:

Чтобы число по int преобразовать по математическим правилам, нужно выполнить следующие действия.

1. Если число положительное, добавить к нему 0,5.
2. Если число отрицательное, добавить -0,5.

Синтаксически преобразование оформляется так:

Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такое действие как округление чисел.

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числá.

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак. По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, то надо понимать, что от нас требуют найти ближайшее круглое число от числá 17. Причём в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и той цифры, которая располагается в разряде десятков числá 17 (т.е цифры 1).

Предстáвим числа от 10 до 20 с помощью следующего рисунка:

На рисунке видно, что для числá 17 ближайшее круглое число это число 20. Значит ответ к задаче таким и будет: «17 приближённо равно 20″

17 ≈ 20

Мы нашли приближённое значение для 17, то есть округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.

Попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова предстáвим числа от 10 до 20 с помощью рисунка:

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит ответ к задаче таким и будет: 12 приближённо равно 10

12 ≈ 10

Мы нашли приближённое значение для 12, то есть округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так получилось мы расскажем позже.

Попробуем найти ближайшее число для числá 15. Снова предстáвим числа от 10 до 20 с помощью рисунка:

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать бóльшее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них делать рисунки и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Итак, мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит заменяем число 56 на число 60

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков полýчим 1460

1456 ≈ 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самогó разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь располагается цифра 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять число можно до разряда сотен, тысяч, десятков тысяч и так далее.

После того, как станóвится ясно, что округление это ни что иное как поиск ближáйшего числá, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.

Проверка: isFinite и isNaN

Помните эти специальные числовые значения?

• (и ) — особенное численное значение, которое ведёт себя в точности как математическая бесконечность ∞.
• представляет ошибку.

Эти числовые значения принадлежат типу , но они не являются «обычными» числами, поэтому есть функции для их проверки:

• преобразует значение в число и проверяет является ли оно :

  Нужна ли нам эта функция? Разве не можем ли мы просто сравнить ? К сожалению, нет. Значение уникально тем, что оно не является равным ни чему другому, даже самому себе:

• преобразует аргумент в число и возвращает , если оно является обычным числом, т.е. не :

Иногда используется для проверки, содержится ли в строке число:

Помните, что пустая строка интерпретируется как во всех числовых функциях, включая.

Сравнение

Существует специальный метод Object.is, который сравнивает значения примерно как , но более надёжен в двух особых ситуациях:

1. Работает с : , здесь он хорош.
2. Значения и разные: , это редко используется, но технически эти значения разные.

Во всех других случаях идентичен .

Этот способ сравнения часто используется в спецификации JavaScript. Когда внутреннему алгоритму необходимо сравнить 2 значения на предмет точного совпадения, он использует (Определение ).

Примечания

1. ↑
2. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming. Volume 1. Fundamental Algorithms / под ред. С. Г. Тригуб (гл. 1), Ю. Г. Гордиенко (гл. 2) и И. В. Красикова (разд. 2.5 и 2.6). — 3. — Москва: Вильямс, 2002. — Т. 1. — 720 с. — ISBN 5-8459-0080-8.
3. A’HEARN, B., J. BATEN AND D. CRAYEN (2009). “Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital”, Journal of Economic History 69,783-808.
4. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Техника вычислений и алгоритмизация: Вводный курс: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математическим специальностям. — М: Просвещение, 1987. 160 с.: ил.
5. цит. по В. Гильде, З. Альтрихтер. «С микрокалькулятором в руках». Издание второе. Перевод с немецкого Ю. А. Данилова. М:Мир, 1987, стр. 64.

3 Потеря точности при работе с вещественными числами

При работе с вещественными числами всегда нужно иметь в виду, что вещественные числа не точные. Всегда будут ошибки округления, ошибки преобразования из десятичной системы в двоичную и, наконец, самое частое – потеря точности при сложении/вычитании чисел слишком разных размерностей.

Последнее — самая неожиданная ситуация для новичков в программировании.

Если из числа вычесть , мы получим опять .

Вычитание чисел слишком разных размерностей	Объяснение
	Второе число слишком маленькое, и его значащая часть игнорируется (выделено серым). Оранжевым выделены 15 значащих цифр.

Что тут сказать, программирование — это не математика.

Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, поскольку десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

• разряд единиц;
• разряд десятков;
• разряд сотен;
• разряд тысяч.

Разряды дробной части:

• разряд десятых;
• разряд сотых;
• разряд тысячных

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды

Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков, а не разряда десятых

Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной

Итак, мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр это 6, которая находится в разряде тысячных:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,460

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

ОКРУГЛЕНИЕ К БЛИЖАЙШЕМУ ЦЕЛОМУ

Округление к ближайшему целому до N-го знака осуществляется по следующему правилу:

• если N+1 знак < 5, то N-ый знак остается без изменений, а все знаки после N-го отбрасываются (обнуляются);
• если N+1 знак > 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а все знаки после N-го отбрасываются (обнуляются).

Примеры округления до 2 знаков после запятой:

2.4545 → 2.452.4564 → 2.46

По способам округления числа в случае когда N+1 знак равен 5, выделяются следующие виды округления к ближайшему целому:

• Математическое округление;
• Банковское округление;
• Случайное округление;
• Чередующееся округление.

Математическое округление в случае если N+1 знак = 5 увеличивает N-й знак на единицу,  а все знаки после N-го отбрасываются (обнуляются). 

Пример математического округления до 2-х знаков после запятой:

2.4554 → 2.46

Данное округление в ABL реализовано в функции ROUND.

ROUND(iRnd, n)

• iRnd — округляемое значение;
• n — знак до которого осуществляется округление.

Банковское округление отличается от математического тем, что предполагает округление в таком случае к ближайшему четному числу. Т.е. результатом округления числа 2.5 при математическом округлении будет 3, а при банковском 2. 

FUNCTION BankRound RETURNS DECIMAL (INPUT iRnd AS DEC, INPUT n AS INT).    DEF VAR ChkFor5 AS INTEGER NO-UNDO.   DEF VAR B_Round AS DECIMAL NO-UNDO.   B_Round = ROUND(iRnd,n).   ChkFor5 = ROUND(((TRUNCATE(iRnd, n + 1) -                      TRUNCATE(iRnd,n)) * EXP(10, n + 1)),0).   IF ChkFor5 = 5 THEN    DO:      IF ((TRUNCATE(iRnd,n) * EXP(10,n)) MOD 2) = 0 THEN          B_Round = TRUNCATE(i,n).   END.   RETURN B_Round.END FUNCTION.

Случайное округление осуществляет равновероятное округление числа 5 как в меньшую (N-ый знак остается без изменений) так и в большую (N-ый знак увеличивают на единицу) стороны. Например, в момент округления значения можно генерировать случайное целое число в пределах . Если полученное число равно нулю, то округление осуществляется в меньшую сторону, если единице, то в большую.

FUNCTION RandomRound RETURNS DECIMAL (INPUT iRnd AS DEC, INPUT n AS INT).   DEF VAR vResult AS DECIMAL NO-UNDO.   DEF VAR ChkFor5 AS INTEGER NO-UNDO.   DEF VAR vRandom  AS DECIMAL NO-UNDO.   vRandom = RANDOM(0,1).   vResult = TRUNCATE(iRnd,n).   ChkFor5 = ROUND(((TRUNCATE(iRnd, n + 1) -                      TRUNCATE(iRnd,n)) * EXP(10, n + 1)),0).   IF ChkFor5 = 5 THEN vResult = vResult + vRandom * EXP(10, - n).    RETURN vResult.END FUNCTION. 

Чередующееся округление осуществляет округление числа 5 поочередно то в меньшую, то в большую стороны. Данное округление очевидно применимо при необходимости округления массива чисел, а не единичного числа.